Uno de los temas que, a mi juicio, más juego darán en un futuro, por desgracia, bastante alejado, serán los túneles a través del interior de la Tierra.
Hoy por hoy, parece ser que una partícula puntual que viaje a través de este túnel tendría un movimiento armónico simple, tal como un oscilador armónico. Sin embargo, esta afirmación está bajo el supuesto de que la tierra sea una esfera perfecta, que su densidad sea constante en todo su volumen, que no exista ningún tipo de fuerza de rozamiento en el interior del túnel, que el túnel sea lo suficientemente pequeño como para que la partícula se desplace sin este tipo de fricción, que g sólo varía con r, etc... Como podemos observar, únicamente se trata de un caso ideal, sin embargo, estoy segura de que en un futuro conseguirán hacer algo parecido e incluso cosas que ni somos capaces a imaginarnos.
A continuación, demostraremos que en este caso ideal la partícula, efectivamente se comporta con un m.a.s.
Mediante el teorema de Gauss, calculamos cual es el valor del campo gravitatorio en el interior de la Tierra, es decir:
Hoy por hoy, parece ser que una partícula puntual que viaje a través de este túnel tendría un movimiento armónico simple, tal como un oscilador armónico. Sin embargo, esta afirmación está bajo el supuesto de que la tierra sea una esfera perfecta, que su densidad sea constante en todo su volumen, que no exista ningún tipo de fuerza de rozamiento en el interior del túnel, que el túnel sea lo suficientemente pequeño como para que la partícula se desplace sin este tipo de fricción, que g sólo varía con r, etc... Como podemos observar, únicamente se trata de un caso ideal, sin embargo, estoy segura de que en un futuro conseguirán hacer algo parecido e incluso cosas que ni somos capaces a imaginarnos.
A continuación, demostraremos que en este caso ideal la partícula, efectivamente se comporta con un m.a.s.
Mediante el teorema de Gauss, calculamos cual es el valor del campo gravitatorio en el interior de la Tierra, es decir:
Φ= [σ (4/3) πr3]/ε0 =[M (4/3) πr3]/[(4/3) πR3 ε0] = (Mr3)/( ε0R3)
Igualamos ambos términos:
g4πr2 = (Mr3)/( ε0R3) à g=-GMr/R3
siendo r la distancia al centro de la tierra
R el radio de la Tierra
g la intensidad del campo gravitatorio
G la constante gravitatoria à 1/(4π ε0 ) = G
σ la densidad por unidad de volumen à σ = M/[(4/3) πR3]
ε0 una constante de tipo eléctrico
M la masa de la Tierra
Como podemos observar en la expresión de la intensidad de campo gravitatorio, a medida que aumenta r, g aumenta con su signo negativo, y lo contrario ocurre al disminuir la distancia al centro de la Tierra. En el momento en el que r=0, estaremos hablando de ingravidez.
La única fuerza que actuaría sobre la partícula, será la fuerza gravitatoria:
Así pues, en su movimiento, únicamente horizontal, actuaría sobre ella la componente x de la fuerza citada(Fx). Esta fuerza, la cual se opone al movimiento sería de la siguiente forma:
Fx=-F(x/r)=-G(Mm/R3)x
siendo r la distancia de la partícula al centro de la Tierra
x la componente horizontal de la posición de la partícula
A continuación nos encontramos con la siguiente ecuación diferencial:
m(d2x/dt2)=-GMmx/R3
d2x/dt2+w2x=0
x la componente horizontal de la posición de la partícula
A continuación nos encontramos con la siguiente ecuación diferencial:
m(d2x/dt2)=-GMmx/R3
d2x/dt2+w2x=0
Teniendo en cuenta las siguientes expresiones:
x(t)=Asin(wt+ ø)
v(t)=wAcos(wt+ ø)
a(t)=-w2Asin(wt+ ø)
v(t)=wAcos(wt+ ø)
a(t)=-w2Asin(wt+ ø)
Nos quedan unas expresiones tal que así:
v(t)= (GMA/R^3w)[cos(wt+ø0)-1] + v0
v(t)= (GMA/R^3w)[cos(wt+ø0)-1] + v0
x(t)= (GMA/R^3w^2)[sin(wt+ø0) + v0t
Sabiendo que T = 2π/w y que GM/R^3= w^2;
T=2π √(R^3/GM) = 2π√(r/g) ≈ 1,4 h.
Como podemos observar la expresión del período de la oscilación va a depender de g. Nosotros hemos supuesto que g dependería únicamente de la posición de la partícula con respecto al centro de la Tierra, sin embargo, si queremos aproximarnos más a lo que es la realidad, esto no es cierto. La cuestión emana de que la densidad en el interior de la Tierra no es constante, puesto que ésta está formada por dos estructuras básicamente, las cuales son, el manto y la corteza terrestre.
Sabiendo que T = 2π/w y que GM/R^3= w^2;
T=2π √(R^3/GM) = 2π√(r/g) ≈ 1,4 h.
Como podemos observar la expresión del período de la oscilación va a depender de g. Nosotros hemos supuesto que g dependería únicamente de la posición de la partícula con respecto al centro de la Tierra, sin embargo, si queremos aproximarnos más a lo que es la realidad, esto no es cierto. La cuestión emana de que la densidad en el interior de la Tierra no es constante, puesto que ésta está formada por dos estructuras básicamente, las cuales son, el manto y la corteza terrestre.
La densidad de la corteza es ρc=11.0 g/cm^3 y la del manto ρm=4.437 g/cm^3.
A continuación utilizando nuevamente el teorema de Gauss, pero esta vez integrando a lo largo de r debido a que las densidades no son constantes, llegamos a los siguientes resultados:
A continuación utilizando nuevamente el teorema de Gauss, pero esta vez integrando a lo largo de r debido a que las densidades no son constantes, llegamos a los siguientes resultados:
g=19.577 (r/R) m/s2
Para r entre rc y R:
g=1.920(R/r)2+7.898(r/R) m/s2
Observando las expresiones anteriores, podemos deducir que en el manto g aumenta linealmente con el radio, sin embargo en la corteza g tiene un comportamiento distinto. A medida que aumenta r, g va disminuyendo al principio y aumentando al final.
Así pues, vimos en el caso ideal que la partícula se movería con un m.a.s., sin embargo, su período vendría afectado por el valor de g, el cual variaría en función de r. Más adelante, vimos que otro gran impedimento era el haber considerado la densidad constante en todo su volumen, lo cual era erróneo y variaba en función de la estructura interna de la Tierra. Con todos estos datos, podemos deducir que según la posición del túnel en el interior de la Tierra, su período va a ser uno u otro. Así pues, el mito de que una partícula introducida en el interior de la Tierra volvería a su posición inicial pasadas 1,4 horas queda desechado.
Otra cosa bastante curiosa es que si el túnel atraviesa la Tierra, pasando por el centro de la misma, sabiendo que en este punto g=0, el período sería igual a infinito, por lo que la partícula nunca volvería a su posición de origen.
Puesto que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, o eso se piensa, este mecanismo sería muy útil para moverse entre dos puntos en el mínimo espacio de tiempo. ¿Os imagináis un tren magnético a través de este tipo de túneles?¿Pero qué ocurriría si pasara justo por el centro de la Tierra? ¿Sería posible? Mucho tiempo pasará hasta que estas preguntas puedan ser contestadas. Pero el simple hecho de pensarlo ya pone a uno los pelos de punta...
Puesto que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, o eso se piensa, este mecanismo sería muy útil para moverse entre dos puntos en el mínimo espacio de tiempo. ¿Os imagináis un tren magnético a través de este tipo de túneles?¿Pero qué ocurriría si pasara justo por el centro de la Tierra? ¿Sería posible? Mucho tiempo pasará hasta que estas preguntas puedan ser contestadas. Pero el simple hecho de pensarlo ya pone a uno los pelos de punta...
Bibliografía:
http://bohr.fcu.um.es/miembros/rgm/s+mf/83s+mf.pdf
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/gravedad1/gravedad1.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/tunel/tunel.htm
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